
2020这个一言难尽的开局,一个月基本都在刷手机和失眠里度过。后来weibo炸号,心里反而轻松了不少,说出来没用的话,不说也罢。
我们来仰望星空吧。
群表示论是物理系学生能接触到的数学里最美的分支之一。读研时一个晚上突然发现物理学里那些常用的正交函数族、Fourier变换与群表示论间有非常漂亮的联系,大概是读书时印象最深刻的一次顿悟。这里贴出一篇过去的有限群表示论笔记,谨以最美好的数学来对抗这段糟糕的日子。
\section{有限群表示论}
本章试图对有限群表示论给出一个简约清晰的介绍。
有限群表示论的一个基本问题是有限群表示的分类与求解。这将会导致如下经典结果:
\begin{enumerate}
\item 有限群表示是完全可约的,且可酉化;
\item 正则表示中包含了全部不可约表示,且其中全部不可约表示的数目等于其等价类数目,重数等于其维数;
\item Schur引理。不可约模间没有非平凡非同构的模同态;
\item 正交关系的导出;
\item 由特征标正交关系得出的不可约表示判定与可约表示约化。
\end{enumerate}
\subsection{主要概念}
\begin{definition}[群表示] 群
的\textbf{表示}为一个同态
,其中
为域
上的有限维向量空间,这里若无特殊说明我们取
.
称作\textbf{表示的维数};
若
平凡,则称该表示是\textbf{忠实的};若对所有
,则称表示为\textbf{平凡的}。
群表示可看作
上的
-模。
\end{definition}
\begin{definition}[可约与不可约] 一个表示是\textbf{不可约}的如果它不具有恰当的不变子空间(即不可约子表示);一个表示是\textbf{完全可约的}如果它可以分解为一系列不可约子表示的直和。
\end{definition}
\begin{definition}[正则表示] 考虑
上复函数构成的向量空间
,它的基底为
,其中
表示一个在
上值为
,余皆为
的函数。
则
可以通过
上的线性算子
这样作用在基矢上
(1) 
则称
为
的\textbf{左正则表示}。
\end{definition}
\begin{definition}[G-线性映射] 设
在
上分别有表示
,且存在线性映射
,满足
(2) 
则称
为一个\textbf{
-线性映射},或称\textbf{
与
可交换}.若
可逆,则上式可写为
(3) 
此时称
为\textbf{群表示的同构}。
用模的语言来说,G-线性映射正是一个模同态。
\end{definition}
\subsection{酉表示与可约性}
\begin{definition}[酉表示] 向量空间
上的表示
被称作\textbf{酉}的,如果
装备了一个在
作用下不变的厄米内积
(4) 
表示称作\textbf{可酉化的}如果
可以装备这样一个内积。
一个表示是酉的当且仅当同态
落在酉群
之中。该条件也可以表述为
.
\end{definition}
\begin{lemma}[] 设
为群
的酉表示而
为
中的一个不变子空间,则
的正交补
也是一个不变子空间。
\end{lemma}
\begin{proof}
由于
保持酉表示空间中的内积不变,于是对于
,它被任意
作用后的结果满足
(5) 
由于
,于是
.
\end{proof}
\begin{theorem}[酉表示的完全可约性] 设
为任意群
上的有限维酉表示,则该表示完全可约,并且可约化为一系列不可约酉表示的直和。
\end{theorem}
\begin{proof}
首先,根据上述引理,
可以不断迭代地正交分解为一系列不变子空间的直和,这个分解必然终止于一系列不可约子空间。
然后,
上的厄米内积限制在各不可约子空间上,显然
仍然保持这些子空间中的内积不变,因而
被分解成了一系列不可约酉表示的直和。
\end{proof}
\subsection{有限群表示的完全可约性}
\begin{theorem}[有限群表示的酉性] 有限群的有限维复表示必可酉化。
\end{theorem}
\begin{proof}
只需找到一个
-不变的内积即可。
以下式从
定义出一个新的
不变内积
(6) 
显然具有
-不变和正定性质,因而是一个
-不变的内积。
\end{proof}
\begin{theorem}[有限群表示的完全可约性] 有限群的有限维复表示必完全可约。
\end{theorem}
\begin{proof}
有限群的有限维复表示必可酉化,而酉表示必完全可约。
\end{proof}
下面给出上述定理的第二种证明,以期从不同的角度来理解这一结果。
\begin{lemma}[] 设
为群
在特征不整除
的域
上的有限维表示,则每个不变子空间
都有一个不变的补空间
,使得
.
\end{lemma}
\begin{proof}
设
为
到
的投影算子,仍然通过在
上平均的手法构造一个新的
-不变投影算子
(7) 
容易验证
有如下性质
\begin{enumerate}
\item 
\item 
\item 
\end{enumerate}
可见
是一个
的
-线性映射,或者说一个模同态。
由第一条性质知道
是一个不变子空间;由第二条性质知道
;由第三条性质得
,
即
.
\end{proof}
\subsection{Schur引理}
\begin{theorem}[Schur引理] 设
为群
的有限维不可约表示,设
是一个
-线性映射,则有
\begin{enumerate}
\item 若两表示不等价,则
;
\item 当
时,
。
\end{enumerate}
\end{theorem}\label{SchursLemma}
\begin{proof}
是一个
-线性映射,因此
与
均为不变子空间,但考虑到
都是不可约表示,不包含任何非平凡子空间,因此只有如下两种可能性
\begin{enumerate}
\item
,
为表示同构;
\item
,
为零映射。
\end{enumerate}
因此第一条得证。
当
时,由于
与
对易,因此
的本征子空间
是不变子空间,又由
的不可约性有
,因此
.
\end{proof}
\subsection{特征标与第一正交关系}
\begin{theorem}[] 设
为群
的有限维不可约表示,设
是一个线性映射.我们由
构造映射
(8) 
则
满足如下性质
\begin{enumerate}
\item 若两表示不等价,则
;
\item 当
时,
。
\end{enumerate}
\end{theorem}\label{SchurOrth}
\begin{proof}
易证
(9) 
即
,可见
是个
-线性映射,从而由??得出两个断言。
关于
的取值,可以这样计算出来
(10) 
\end{proof}
考虑群
上的复函数空间,我们在其中定义任意两个复函数
的内积
(11) 
\begin{definition}[特征标] 一个表示
的\textbf{特征标}
定义为
(12) 
\end{definition}
可以证明特征标是一个完备不变量,可以在同构的意义上对不可约表示进行分类。
\begin{theorem}[特征标的基本性质] 特征标具有以下性质
\begin{enumerate}
\item 特征标是类函数,
\item 
\item 
\item 对于任意两个表示
,
\item 对于对偶表示
,有
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
显然。
\end{proof}
\begin{theorem}[第一正交关系] 特征标满足如下正交关系
\begin{enumerate}
\item 若
是不可约的,则
;
\item 若
不可约且不同构,则
.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
作如下计算
(13) ![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*} \Braket{\chi_V\vert \chi_W}&=&\frac{1}{|G|}\sum_G \bar{\chi}_V(g)*\chi_W(g)\\ &=&\frac{1}{|G|}\sum_G \chi_W(g) * \chi_V(g^{-1})\\ &=&\frac{1}{|G|}\sum_{G,i,j} \Braket{w_i\vert \rho_W(g) \vert w_i} \Braket{v_j \vert \rho_V(g^{-1}) \vert v_j}\\ &=&\sum_{i,j} \bra{w_i} \frac{1}{|G|}\sum_{G} [\rho_W(g) \ket{w_i} \bra{v_j} \rho_V(g^{-1})] \ket{v_j}\\ \end{eqnarray*}](http://singvision.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e975f3f963774b2b0dad49b3043429ca_l3.png)
由??,令
,可知
不等价时上述内积为零,若
等价则有
(14) 
\end{proof}
于是我们有如下结论。
\begin{theorem}[] 对于有限群的复表示,我们有
\begin{enumerate}
\item 不可约表示
在表示
中的重数等于
;
\item 两表示同构当且仅当它们具有相同的特征标;
\item
总是一个整数,
不可约当且仅当
;
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
考虑表示
的不可约分解,我们最终要证明如下等价关系
(15) 
\label{RepRingCharCorrespondence}
证明上式的正向箭头是显然的,由于不可约表示特征标的正交性,不可约表示
在
中的重数可这样计算
(16) 
这就证明了第二条.
考虑??的逆向箭头,对于任意不可约表示
,都可以通过
计算出它在
中的重数,从而可以根据特征标重建出
的不可约分解,因而逆向箭头成立,第二条命题也得证。
对于不可约表示
,必有
.可以算出
(17) 
可见
必为整数,
时必然意味着该表示不可约。第三条证毕。
\end{proof}
\subsection{正则表示}
\begin{proposition}[] 对于正则表示
,我们有如下结果
\begin{enumerate}
\item
(18) 
\item 任意不可约表示
在
中的重数等于
;
\item 全部不可约表示的维数平方和等于群的阶,即
.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
第一条: 正则表示下除了单位元
,任何群元都没有非零对角元;
第二条:
;
第三条: 显然。
\end{proof}
现在我们已经证明了不可约表示特征标是一组正交归一向量,接下来我们可以进一步证明它们在类函数空间里是完备的。
证明的基本思路就是假设类函数
正交于所有的不可约表示特征标,说明它必为零,从而不存在这样非平凡的
。
对于任意函数
和
的任意表示
,定义如下
的自映射
(19) 
上述自映射有如下性质
\begin{lemma}[]
是个类函数当且仅当在任何表示下
与
对易。
\end{lemma}
\begin{proof}
首先假设
是个类函数,即
,则有
(20) 
然后假设任何表示下
与
对易,取
为正则表示
,有
(21) 
由对易假设知两式相等,从而有
,证毕。
\end{proof}
当
是类函数且
不可约时,Schur引理告诉我们
是个常数映射.我们取迹以计算它
(22) 
\begin{theorem}[] 不可约表征标是类函数空间的一组完备基。
\end{theorem}
\begin{proof}
假设类函数
正交于所有的不可约表示特征标,则在任何不可约表示或完全可约表示上有
,
考虑正则表示,
(23) 
证毕。
\end{proof}
\subsection{第二正交关系}
我们考虑第一正交关系,有
(24) 
可见
是一个酉矩阵,第一正交关系正是说该矩阵的行向量相互正交。我们知道酉矩阵的行与列均正交,于是可以得出列向量的正交关系
(25) 
其中
为所有的不可约表示集合。